Simbolizaciones de Números Racionales

¿Cómo se simbolizan los números racionales?

En este espacio conoceremos las las distintas simbolizaciones de los números racionales a través de sus equivalencias para aplicarlas a problemas aritméticos y en contexto.

Ojo de Horus egipcio. Cada parte representada por

jeroglíficos representa un número racional.

El término ‘racional’ se deriva de la razón o división de dos números enteros, proviene del latín ratio y del griego razón (λόγος). Conceptual e históricamente, los números racionales aparecen antes que el uso del cero y de los números negativos como una necesidad de dividir algo en partes, generalmente de proporciones iguales.

Los egipcios utilizaron este tipo de números para indicar que una unidad puede dividirse en partes; también conocían el concepto de recíproco de un número entero, definido como el cociente de dividir 1 entre cualquier otro entero (

\frac{1}{1}, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \dots

). El concepto de “fracción egipcia” permite obtener un número racional como la suma de varias fracciones unitarias (con numerador igual a 1), por ejemplo

0.95 = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5}

Para los griegos, cualquier cantidad podía expresarse como el cociente de enteros, lo que da origen a los números racionales.

Algunos números con decimales también son representaciones de números racionales; incluyendo las representaciones porcentuales, como puedes observar en los siguientes ejemplos:

Los números racionales surgen como una necesidad de resolver problemas que involucran división de un “todo”, como cuando se habla de la mitad de una parcela, o repartir una pizza entre varios comensales, aplicar un impuesto a algún producto, etc. En las representaciones matemáticas, surge al intentar resolver problemas que involucran ecuaciones que pueden parecer tan simples como obtener el valor de una variable en expresiones como 5x−3=1 (al despejar x=4/5) los cuales no generan soluciones enteras.

Dado que cualquier entero puede dividirse entre 1 $(\frac{1}{1}, \frac{2}{1}, \frac{3}{1}, \frac{4}{1} . . .)$ , los números enteros también son racionales, ya que se trata de un cociente de enteros. Por lo tanto, los números enteros Z son un subconjunto de los números racionales Q.

En general, un número racional se define como cualquier número que puede representarse por una relación o cociente de dos números enteros (a y b), donde el denominador debe ser distinto de cero. El término ‘racional’ alude a una razón o fracción o parte de un todo. Además del sistema decimal, cualquier sistema de numeración posicional funciona de la misma forma (binario, hexadecimal, maya, etc).

Los números racionales, además de la notación de cociente, pueden expresarse a través de una cantidad con un número finito de decimales (todos los números con decimales finitos son racionales) o como una sucesión periódica infinita de números.

Adicionalmente, los números racionales forman conjuntos infinitos de fracciones equivalentes, por ejemplo

\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{3}{6} = \frac{4}{8} = . . .

donde puede obtenerse un número que no puede reducirse más (en este caso:

\frac{1}{2}

No todas las cantidades expresadas con decimales son números racionales; ya que existe otro conjunto que no puede expresarse como un cociente de enteros, y sólo pueden representarse a través de una serie aperiódica (sin repeticiones), como el número π=3.141582653...π=3.141582653.... Finalmente, el conjunto formado por los racionales e irracionales conforman a los números reales.

Fracciones

Los números racionales son una extensión de los números enteros, surgen como una necesidad de realizar representaciones de partes o fracciones de algo. Inicialmente se utilizaron para describir el inverso multiplicativo de un número entero. También se usaron para obtener partes iguales de algún producto cuando se realizaban trueques, repartir porciones de alimento, dividir terrenos o el tiempo para ubicarnos en algún momento del día. Al introducir el concepto de la división, se genera el conjunto de los números racionales, que se definen como el cociente de dos números enteros. Al igual que se representa a los números naturales con N y a los enteros con Z, se utilizó la letra Q (quotient, “cociente” en varios idiomas) para representar a los números racionales.

El conjunto de los números racionales, se definen como el cociente $\frac{a}{b}$ , donde a y b son números enteros y b≠0

Algunas observaciones sobre el cociente

\frac{a}{b}

Los números enteros son un subconjunto de los números racionales (donde el denominador es igual a 1), por lo que:

Desde el punto de vista de las expresiones matemáticas, en algún momento fue necesario representar la división; es así como surgen los números racionales. Por ejemplo, al plantearse expresiones como dividir dos pizzas entre cinco personas se tiene que:

2pizzas5personas=25[pizzas/persona]

Verifiquemos lo aprendido...

Si se pagaron $250 por las dos pizzas, ¿cuánto pagará cada una de las personas si se dividen de manera igual el costo?

veamos la respuesta:

Los resultados de las divisiones no necesariamente serán número enteros, de ahí la necesidad de establecer nuevas representaciones.

Las fracciones son la primera aproximación hacia los números racionales, en ellas se representa la división de una cantidad entera (numerador) en partes iguales (denominador).

Se trata de una fracción propia cuando el numerador es menor que el denominador, es decir, cuando el resultado de esta división se encuentra entre cero y uno. Por ejemplo:

Si el numerador es mayor o igual que el denominador, se le conoce como una fracción impropia. En estos casos puede observarse que el resultado de la división es mayor o igual a 1. Por ejemplo:

3 3, 8 5, 16 7, 14 9, \dots

Las fracciones mixtas, son expresiones matemáticas que representan una fracción impropia como la suma de un entero más la suma de una fracción propia. Este tipo de notación es muy utilizado en el sistema de medición inglés. Por ejemplo, podrás encontrar llaves de 1/2, 3/4 o

o 1 pulgada, pero también de

1^{1} /_{4}

de pulgada.

Estas fracciones comunes suelen representarse con una diagonal separando al numerador del denominador :

1 / 4 = \frac{1}{4}

Verifiquemos lo aprendido...

1. Del juego de llaves mostrado en la figura anterior, ¿cuántas equivalen a fracciones propias?

2. Del juego de llaves mostrado en la figura anterior, ¿cuántas equivalen a fracciones mixtas?

3. Del juego de llaves mostrado en la figura anterior, escribe un equivalente en fracciones impropias para las llaves representadas con fracciones mixtas (representa la fracción con una diagonal):

Llave $1^{1} /_{16}$

Llave $1^{1} /_{8}$

Llave $1^{1} /_{4}$

0.95 = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5}

Decimales

Las fracciones son números racionales, y cada número racional consta de infinitas fracciones equivalentes. Al dividir el numerador entre el denominador de las siguientes expresiones podemos observar que todas son un medio equivalente a 0.5 (el denominador es el doble del numerador).

Esta es otra forma para representar a los números racionales, se obtiene al aplicar la operación de la división, por ejemplo, con una calculadora. Al realizar la operación obtenemos una representación con punto decimal.

Para comprender cómo se representan algunas fracciones con su escritura decimal, realiza lo que se te pide a continuación.

Verifiquemos lo aprendido...

En la siguiente tabla se presentan una serie de fracciones. Completa la tabla realizando la división correspondiente en tu cuaderno y escribe el resultado en el espacio indicado (utiliza un máximo de doce decimales).

Ahora vamos a analizar algunos casos específicos de la tabla. Observa las operaciones que se realizan:

A partir de la tabla que completaste podemos ver dos formas distintas de representar una fracción, da clic en cada pestaña para revisarlas:

Una representación decimal “terminal” con un número finito de dígitos, como en estos casos de la tabla:

Seguramente, algunas divisiones te son conocidas, por ejemplo:

Hay otras que no son tan obvias o conocidas:

Estas representaciones se conocen como series periódicas puras, ya que toda la parte decimal se repite indefinidamente.

Algunas series inician con una parte fija y después aparece una secuencia periódica, por ejemplo 0.16666666..., inicia con “0.1” y después continúa una serie infinita de números “6”

Una representación decimal con una serie que se repite infinitamente, como en estos casos de la tabla:

Seguramente, algunas divisiones te son conocidas, por ejemplo:

Hay otras que no son tan obvias o conocidas:

Estas representaciones se conocen como series periódicas puras, ya que toda la parte decimal se repite indefinidamente.

Algunas series inician con una parte fija y después aparece una secuencia periódica, por ejemplo 0.16666666..., inicia con “0.1” y después continúa una serie infinita de números “6”.

Veamos un vídeo para consolidar lo que hemos aprendido...

\frac{1}{3} = 0.33333333... = 0. \bar{3}

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