Relación de Orden de Números Racionales

Comparemos Cantidades

En este espacio compararemos cantidades empleando diferentes simbolizaciones, mediante la resolución de ejercicios que involucran fracciones con igual denominador, para después plantear la comparación entre fracciones con distinto denominador.

Caris Brown, El corredor de Andalucía

En la caricatura de Caris Brown, Chiripa hace un conteo ascendente, de menor a mayor; el conteo no es con números enteros, tal como estamos acostumbrados, sino con números racionales.

A partir de la caricatura puedes concluir que el conjunto de los números racionales, al igual que cualquier otro conjunto de números, tienen definida una relación de orden; es decir, se pueden ordenar de menor a mayor o viceversa.

La relación de orden entre dos números distintos se indica mediante los símbolos “<” —que se lee menor que— o “>” —que se lee mayor que— según corresponda.

Por ejemplo:

El número 2 es menor que el número 7, lo cual se indica mediante la expresión 2<7
El número 3 es mayor que el número 1, lo cual se indica mediante la expresión 3>1

El número 18 es menor que el número 28, es decir, 18<28

• Relación de orden a partir de la recta numérica

La ubicación de los números en la recta numérica te permite compararlos y determinar la relación de orden entre ellos: un número es menor si se encuentra a la izquierda de un segundo número; será mayor si se encuentra a la derecha; y ambos números serán iguales si ocupan el mismo lugar en la recta.

Por ejemplo, en la figura 1, se muestran los números 2 y 7, ubicados en la recta numérica.

Figura 1. Comparación entre dos números enteros

Se observa que el número 2 está a la izquierda del número 7; por lo tanto, 2 es menor que 7 y se representa como:

2<7

El símbolo < se lee como “menor que”, donde la punta señala al elemento menor y la apertura al elemento mayor.

A continuación se muestra un resumen del análisis anterior.

Figura 2. Relación de orden entre los números 2 y 7

Desde otra perspectiva, podemos decir que 7 se ubica a la derecha de 2, entonces:

7>2

El símbolo > se lee como “mayor que” y, de la misma manera que con el símbolo <, la punta indica al elemento menor y el otro lado al elemento mayor.

Para el caso de números negativos la relación de orden también está determinada por sus posiciones en la recta numérica.

En la figura 3 se muestran los números negativos −10 y −3.

Figura 3. Comparación entre números enteros negativos

Se observa que el número −3 se encuentra a la derecha de −10, por lo que −3 es mayor que −10, es decir:

−3>−10

En la figura 4 se muestra la relación de orden entre los números −3y −10.

Figura 4. Relación de orden entre los números −3 y −10

¡A trabajar!

1.Explora el orden de los números enteros mediante el siguiente recurso GeoGebra. Modifica los valores de los números y observa que la posición de éstos se modifica en la recta numérica determinando así la relación de orden entre ellos.

2. En el siguiente recurso GeoGebra se indican dos números enteros, ubícalos en las posiciones que les corresponde en la recta numérica y selecciona el símbolo de comparación adecuado: >, < o = para determinar la relación de orden entre ellos.

• Relación de orden en los números racionales.

Al igual que los números enteros, los números racionales también pueden ser localizados en la recta numérica para su ordenación. Por ejemplo, en la figura 5 se muestran los números racionales:
18

 y 58

Figura 5. Comparación entre números racionales positivos

Se observa que el número 18 se encuentra a la izquierda de 58, es decir:

18<58

Figura 6.Relación de orden entre los números positivos

¡A trabajar!

Utiliza el siguiente recurso GeoGebra para comparar diferentes números racionales. Para ello modifica los valores del numerador y del denominador, observa su representación en la recta numérica y compáralos. Hazlo seleccionando:

• Números positivos
• Números negativos
• Un número positivo y otro negativo.

Observa que su posición en la recta numérica determina la relación de orden entre los números, tal como ya analizamos con anterioridad. Un número es menor si se encuentra a la izquierda de un segundo número; será mayor si se encuentra a la derecha; y ambos números serán iguales si ocupan el mismo lugar en la recta numérica.

• Relaciones de igualdad y orden.

En general, dados dos números racionales cualesquiera,

 ab y cd, se tienen tres posibles casos de ordenación (tricotomía).

La ubicación de los números en la recta numérica te permite compararlos y determinar el orden entre ellos.

A continuación, se hará un análisis gráfico de los tres casos de ordenación o tricotomía.

 

El número racional ab representa una magnitud mayor que el número cd, por lo que el primer número se ubica a la derecha del segundo.

 por lo que el primer número se ubica a la izquierda del segundo.

El número racional ab representa una magnitud menor que el número cd, por lo que el primer número se ubica a la izquierda del segundo.

Ambos números racionales representan a la misma magnitud, por lo que se ubican en la misma posición en la recta numérica. Se dice que las fracciones son equivalentes.

Aunque la localización de números racionales en la recta numérica es un proceso útil para su comparación, dicho proceso puede ser lento y poco práctico, por lo que es conveniente realizar la comparación de manera aritmética.

Para enriquecer los conocimientos previos te dejo por aquí un vídeo de la Estrategia ESMATE...