Clasificación de Números

¿Conoces los tipos de números que existen? Aquí te los detallo...

Los números se clasifican en cinco tipos principales: números naturales «N», números enteros «Z», números racionales «Q», números reales «R» (incluyen a los irracionales) y números complejos «C».

En esta clasificación, cada tipo de número es subconjunto de otro mayor, empezando por los números naturales como grupo de números más simples hasta llegar a la clasificación de números complejos «C», que sería el conjunto de números que incluiría todos los tipos anteriores.

• Números Naturales

Los números naturales son los que utilizamos en la vida cotidiana para contar u ordenar y pertenecen al conjunto de números enteros positivos.

El conjunto de los números naturales se representa por ℕ y está formado por: ℕ

Nosotros consideramos que es un número natural, aunque no todos los autores están de acuerdo.

Los números naturales no tienen decimal, unidad imaginaria, o bien no son fracciones.

Los números naturales son ilimitados, si a un número natural le sumamos , obtenemos otro número natural.

Algunas utilidades de los números naturales

1. Contar los elementos de un conjunto (número cardinal).

es el número de planetas del Sistema Solar.

2. Expresar la posición u orden que ocupa un elemento en un conjunto (número ordinal). El pez verde es el segundo  de los tres peces.

Orden en los números

Los números naturales están ordenados, lo que nos permite comparar dos números naturales:

Ejemplo:

Como y además: ,

Representación de los números naturales

Los números naturales se pueden representar en una recta ordenados de menor a mayor.

Sobre una recta señalamos un punto, que marcamos con el número cero .

A la derecha del cero, y con las mismas separaciones, situamos de menor a mayor los siguientes números naturales:

• Números enteros

Con los números naturales no era posible realizar diferencias donde el minuendo era menor que el que el sustraendo, pero en la vida nos encontramos con operaciones de este tipo donde a un número menor hay que restarle uno mayor.

La necesidad de representar el dinero adeudado, la temperatura bajo cero, profundidades con respecto al nivel del mar, etc.

Las anteriores situaciones nos obligan a ampliar el concepto de números naturales, introduciendo un nuevo conjunto numérico llamado números enteros.

El conjunto de los números enteros está formado por los números naturales, sus opuestos (negativos) y el cero.

Los números enteros se representan con la siguiente letra Z

Z={...,−3,−2,−1,0,1,2,3,...}

Y si los representamos en la recta numérica sería de la siguiente forma:

Los números enteros se dividen en tres partes:

1. Enteros positivos o números naturales
2. Enteros negativos
3. Cero

Dado que los enteros contienen los enteros positivos, se considera a los números naturales como un subconjunto de los enteros.

Valor absoluto de un número entero

El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta al suprimir su signo. Otra forma de ver el valor absoluto es la distancia entre 0 y este número, la distancia siendo siempre positiva.

El valor absoluto lo escribiremos entre barras verticales.

Ejemplo:

Veamos algunos ejemplos de los números enteros y del significado que podemos darle, recuerda que el significado depende del contexto.

• Números racionales

Si tienes una naranja y deseas compartirla con alguien es necesario cortarla. Por ejemplo, si tomaste 1 naranja y la divides entre 2 personas para llegar a la mitad tendrías una fracción de la naranja, en este caso

12

Los números racionales se representan con la siguiente letra Q

Si obtienes el cociente de dos números enteros, el resultado puede ser un número entero, un número con decimales infinitos periódicos o un número con decimales infinitos no periódicos. Para que esto sea más claro, observa los siguientes ejemplos:

Si representamos a los números racionales en la recta numérica, sería de la siguiente forma:

                     

Veamos algunos ejemplos de los números racionales y del significado que podemos darle, recuerda que el significado depende del contexto.

• Números irracionales 

Si dibujas un cuadrado cuyos catetos son de tamaño 1, ¿Cuál es la medida de su día?

Recordando el Teorema de Pitágoras, sabemos que: 

c2=a2+b2

En donde:

c=a2+b2−−−−−−√

Sustituyendo los valores, tenemos que:

c=12+12−−−−−−√=1+1−−−−√=2–√=1.4142135623730950...

Este número no puede ser expresado como el cociente de dos números enteros. Entonces, si no es un número racional, ¿Qué es?, los números que no son racionales se le conocen como números irracionales.

Además de números como 2–√2 , también se pueden mencionar otros números irracionales como ππ (cociente de la longitud de la circunferencia entre su diámetro) o e (utilizado en situaciones que representan crecimiento o decrecimiento exponencial).

Si los representamos en la recta numérica sería de la siguiente forma:

Los números irracionales se representan con la siguiente letra

• Números reales 

                                         

Una vez revisados los anteriores conjuntos de números existentes, podemos decir que el conjunto de los números reales (R) está integrado por:

El conjunto de los números racionales (Q) que corresponden a la unión de todos los números cuya expresión decimal es finita o infinita periódica.

El conjunto de los números irracionales (I) que está formado por la unión de todos los números que admiten una expresión infinita no periódica.

Entonces, se llaman números reales a todos aquellos que se pueden expresar en forma decimal finita o infinita; es decir, el conjunto de los números reales (R) está formado por los elementos del conjunto Q unido con I.

Los números reales se representan con la siguiente letra: 

• Números complejos

Los números complejos son combinaciones de números reales y números imaginarios.

En otras palabras, los números complejos son números que tienen una parte real y una parte imaginaria.

Una forma fácil de recordar cómo son los números complejos es memorizar el siguiente esquema:

Esquema de los números complejos

Entonces, sabiendo que dentro de los números complejos encontramos los números reales y los números imaginarios, es más fácil comprender que los números complejos son combinaciones de números reales y números imaginarios. ¡Podemos combinarlos de las formas que queramos!

Cuando pensemos en números complejos, debemos pensar en el adjetivo de “completo” más que en el adjetivo de “complicado”. Completo en el sentido que comprende ambos mundos: el real y el imaginario.

Fórmula de un número complejo

La representación más común de un número complejo es la suma de una parte real y una parte imaginaria. Al mismo tiempo, la parte imaginaria se divide entre la parte imaginaria y la unidad imaginaria.

Dado un número real y un número imaginario, podemos crear la siguiente combinación: h + ui

Donde:

h es un número real.
ui es un número imaginario.

De forma más concreta:

h es un número real.
u es la parte imaginaria.
i es la unidad imaginaria.

Entonces, ¿siempre que encontremos una combinación de números y veamos una “i”, querrá decir que se trata de un número complejo?

Esta pregunta tiene trampa porque todos los números que conocemos están comprendidos dentro del conjunto de los números complejos. Si se fijan en el esquema anterior, verán que un número real también es un número complejo. Es cierto que cuando nos encontramos un número real, no vemos ninguna “i”, este sería el caso de un número complejo donde la parte imaginaria es cero.

Las diferentes formas de números complejos que nos podemos encontrar son las siguientes:

Formas de números complejos

Número complejo puramente real: Es un número complejo donde la parte imaginaria es 0. En otras palabras, es un número real cualquier número de menos infinito a más infinito.

Número complejo puramente imaginario: Es un número complejo donde la parte real es 0. En otras palabras, es un número imaginario, cualquier número real que lleve al lado una “i”.

Representación

Si bien los números complejos se escriben como combinaciones de números reales e imaginarios, su representación gráfica también seguirá el mismo patrón.

Plano complejo

A este gráfico se le llama plano complejo porque representa tanto los números reales como los números imaginarios, en otras palabras, los números complejos.

Aplicación

Los números complejos son muy utilizados en el campo de las matemáticas, sobretodo en la disciplina de los fractales.

Ejemplo de números complejos

Pensar en ejemplos de números que puedan completar la siguiente tabla:

Por aquí te dejo un video para solidificar el tema de la clasificación de los números...

 

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